Rasyonel sayılar, günlük hayatta çok sık kullandığımız kesirli ve ondalıklı sayıları kapsayan bir sayı kümesidir. Bu konunun iyi öğrenilmesi, ileride oran-orantı, denklem çözme, yüzdelik problemler gibi konuları anlamayı kolaylaştırır.
1. RASYONEL SAYILAR NEDİR?
Rasyonel sayılar, p/q şeklinde ifade edilebilen (q ≠ 0) sayılardır.
Matematikte Q harfi ile gösterilir. Q={pq∣p,q∈Z,q≠0}Q = \left\{\frac{p}{q} \mid p,q \in Z, q \neq 0\right\}Q={qp∣p,q∈Z,q=0}
📌 Yani:
- Pay (p) ve payda (q) tam sayı olmalı.
- Payda 0 olamaz (çünkü 0’a bölme tanımsızdır).
Rasyonel sayılara örnekler: 34,−56,71(=7),0,−2,5\frac{3}{4}, \quad -\frac{5}{6}, \quad \frac{7}{1} (=7), \quad 0, \quad -2,543,−65,17(=7),0,−2,5
Gördüğün gibi, tam sayılar da rasyonel sayı kümesine dahildir çünkü her tam sayı tam_sayı1\frac{tam\_sayı}{1}1tam_sayı şeklinde yazılabilir.
2. RASYONEL SAYILARIN ÇEŞİTLERİ
- Pozitif rasyonel sayılar: Pay ve payda aynı işaretlidir. Örn: 58,−7−3\frac{5}{8} , \frac{-7}{-3}85,−3−7
- Negatif rasyonel sayılar: Pay ve payda zıt işaretlidir. Örn: −25,3−4\frac{-2}{5} , \frac{3}{-4}5−2,−43
- Sıfır: 05=0\frac{0}{5} = 050=0 bir rasyonel sayıdır.
3. RASYONEL SAYILARDA TEMEL ÖZELLİKLER
- Bir kesrin payı ve paydası aynı sayı ile çarpılıp bölünebilir (0 hariç). 23=2×53×5=1015\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}32=3×52×5=1510
- Payda daima pozitif olacak şekilde yazılması tercih edilir. −3−4=34(pozitif hale getirilir)\frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \quad \text{(pozitif hale getirilir)}−4−3=43(pozitif hale getirilir)
- Rasyonel sayılar sayı doğrusunda tam sayılar arasında yer alır, iki tam sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı bulunur.
4. RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER
a) Toplama ve Çıkarma
- Paydalar eşitlenir, paylar toplanır veya çıkarılır, payda değiştirilmez.
ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}ba+dc=bdad+bc
📌 Örnek: 23+16=46+16=56\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}32+61=64+61=65
b) Çarpma
- Paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır.
ab×cd=acbd\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}ba×dc=bdac
📌 Örnek: −25×34=−620=−310\frac{-2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{-6}{20} = \frac{-3}{10}5−2×43=20−6=10−3
c) Bölme
- İkinci kesir ters çevrilir ve çarpma işlemi yapılır.
ab÷cd=ab×dc\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}ba÷dc=ba×cd
5. ONDALIK GÖSTERİM
Rasyonel sayılar kesir veya ondalık sayı şeklinde yazılabilir:
- Kesir sonucu bitiyorsa → Kesirli ondalık sayı
- Kesir sonucu tekrar ediyorsa → Devirli ondalık sayı
📌 Örnek: 14=0,2523=0,6666…(devirli)\frac{1}{4} = 0,25 \quad \frac{2}{3} = 0,6666… (\text{devirli})41=0,2532=0,6666…(devirli)
6. KONU ÖZETİ
- Rasyonel sayılar p/q şeklinde yazılır, q ≠ 0 olmalıdır.
- Her tam sayı rasyonel sayıdır.
- Pay ve payda aynı sayı ile çarpılıp bölünebilir (0 hariç).
- Toplama ve çıkarma işlemlerinde paydalar eşitlenir.
- Çarpma işleminde paylar-paylar, paydalar-paydalar çarpılır.
- Bölmede ikinci kesir ters çevrilir, çarpma yapılır.
- Rasyonel sayılar sayı doğrusu üzerinde tam sayılar arasına yerleşir ve iki tam sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır.
