Matematikte tam sayılar, günlük hayatta kullandığımız en temel sayı kümelerinden biridir. 8. sınıfta tam sayılarla işlemler konusu, öğrencilerin daha önce öğrendiği temel kavramların üzerine kurulur ve onları daha karmaşık problemlere hazırlar. Bu yazıda tam sayıların tanımını, sayı doğrusu üzerindeki yerlerini, işlem kurallarını ve örnekleri detaylı bir şekilde ele alacağız.
KONU ÖZETİ
Tam sayılar: Negatifler, pozitifler ve sıfırdan oluşur.
Toplama/çıkarma: İşaretlere dikkat ederek yapılır, çıkarma işlemi toplama şeklinde düşünülür.
Çarpma/bölme: İşaret kuralı vardır (eksi ile eksi artı olur).
Mutlak değer: Sayının sıfıra olan uzaklığıdır, her zaman pozitiftir.
İşlem önceliği: Önce parantez, sonra çarpma-bölme, sonra toplama-çıkarma yapılır.
Bu kuralları öğrenip bol bol örnek çözerseniz, tam sayılarla işlemler sizin için çok kolay hale gelir.
1. TAM SAYILAR NEDİR?
Tam sayılar, negatif sayılar, sıfır ve pozitif sayılardan oluşur. Matematikte Z harfi ile gösterilir.
Tam sayı kümesi: Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}Z = \{…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\}Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
- Pozitif tam sayılar: 1, 2, 3, 4, 5, …
- Negatif tam sayılar: -1, -2, -3, -4, …
- Sıfır (0): Ne pozitif ne de negatiftir. Tam sayı kümesinin tam ortasında bulunur.
2. TAM SAYILARIN SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERİMİ
Tam sayılar, sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir.
- Sayı doğrusunda sağa gidildikçe sayılar büyür, sola gidildikçe küçülür.
- Örneğin, -4 solda, +4 sağdadır.
- 0 tam ortadadır.
📌 Örnek:
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 şeklinde bir sayı doğrusu çizebilirsin.
Bu gösterim öğrencilerin pozitif ve negatif sayıları zihninde daha iyi konumlandırmasını sağlar.
3. TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ
Tam sayılarla toplama, sayı doğrusu mantığıyla kolayca anlaşılabilir.
a) Aynı İşaretli Tam Sayılar
- Aynı işaretli iki tam sayı toplanırken, sayıların mutlak değerleri toplanır ve işaret aynen korunur.
📌 Örnekler: (+3)+(+5)=+8(+3) + (+5) = +8(+3)+(+5)=+8 (−4)+(−6)=−(4+6)=−10(-4) + (-6) = -(4+6) = -10(−4)+(−6)=−(4+6)=−10
b) Farklı İşaretli Tam Sayılar
- Farklı işaretli iki tam sayı toplanırken, sayıların mutlak değerleri çıkarılır ve işaret, mutlak değeri büyük olan sayının işaretidir.
📌 Örnekler: (+7)+(−4)=+(7−4)=+3(+7) + (-4) = +(7-4) = +3(+7)+(−4)=+(7−4)=+3 (−9)+(+2)=−(9−2)=−7(-9) + (+2) = -(9-2) = -7(−9)+(+2)=−(9−2)=−7
4. TAM SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
Çıkarma işlemi aslında toplamanın özel bir halidir.
Bir tam sayıdan diğerini çıkarmak, çıkarılan sayının işaretini değiştirip toplama işlemi yapmaktır.
📌 Örnekler: (+7)−(+3)=+7+(−3)=+4(+7) – (+3) = +7 + (-3) = +4(+7)−(+3)=+7+(−3)=+4 (−5)−(−2)=−5+(+2)=−3(-5) – (-2) = -5 + (+2) = -3(−5)−(−2)=−5+(+2)=−3
5. TAM SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken işaret kuralları çok önemlidir.
İşaret Kuralları:
- (+)*(+) = +
- (-)*(-) = +
- (+)*(-) = –
- (-)*(+) = –
Yani iki negatif sayının çarpımı pozitiftir.
Çünkü eksi ile eksi çarpılınca artı olur.
📌 Örnekler: (+3)×(+4)=+12(+3) \times (+4) = +12(+3)×(+4)=+12 (−3)×(−4)=+12(-3) \times (-4) = +12(−3)×(−4)=+12 (−6)×(+2)=−12(-6) \times (+2) = -12(−6)×(+2)=−12
6. TAM SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
Bölme işlemi de çarpma ile aynı işaret kurallarına sahiptir.
📌 Örnekler: (+12)÷(+3)=+4(+12) \div (+3) = +4(+12)÷(+3)=+4 (−12)÷(−3)=+4(-12) \div (-3) = +4(−12)÷(−3)=+4 (−12)÷(+3)=−4(-12) \div (+3) = -4(−12)÷(+3)=−4
⚠️ Dikkat: Bir sayıyı sıfıra bölemezsiniz. Matematikte tanımsızdır.
7. TAM SAYILARDA ÖNCELİK SIRASI
Birden fazla işlem olduğunda işlem önceliği kuralını unutmamalıyız:
- Öncelikle parantez içi işlemler
- Çarpma ve bölme
- Toplama ve çıkarma
📌 Örnek: (−3)+2×[5−(−1)](-3) + 2 \times [5 – (-1)](−3)+2×[5−(−1)]
Önce parantez içi: (−3)+2×(5+1)=(−3)+2×6(-3) + 2 \times (5+1) = (-3) + 2 \times 6(−3)+2×(5+1)=(−3)+2×6
Sonra çarpma: (−3)+12=9(-3) + 12 = 9(−3)+12=9
8. TAM SAYILARDA MUTLAK DEĞER
Bir tam sayının mutlak değeri, sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır. Her zaman pozitiftir veya sıfırdır.
📌 Örnekler: ∣−5∣=5,∣+7∣=7,∣0∣=0|-5| = 5, \quad |+7| = 7, \quad |0| = 0∣−5∣=5,∣+7∣=7,∣0∣=0
Mutlak değer, özellikle toplama ve çıkarma işlemlerinde büyük önem taşır.
9. ÖRNEK PROBLEMLER
Örnek 1:
Bir dalgıç deniz seviyesinden 8 metre aşağıda. Daha sonra 3 metre yukarı çıkıyor. Dalgıcın yeni konumu kaç metredir?
📌 Çözüm: −8+3=−5-8 + 3 = -5−8+3=−5
Dalgıç deniz seviyesinden 5 metre aşağıda.
Örnek 2:
Hava sıcaklığı -4 °C iken, sıcaklık 6 °C artıyor. Yeni sıcaklık kaç °C olur?
📌 Çözüm: −4+6=+2-4 + 6 = +2−4+6=+2
Yeni sıcaklık 2 °C olur.
Örnek 3:
(−6)×(−3)+(+4)(-6) \times (-3) + (+4)(−6)×(−3)+(+4)
Önce çarpma: (+18)+4=22(+18) + 4 = 22(+18)+4=22
Örnek 4:
[(−3)−(−5)]×(+2)[(-3) – (-5)] \times (+2)[(−3)−(−5)]×(+2)
Parantez içi: (−3)+5=2(-3) + 5 = 2(−3)+5=2
Çarpma: 2×2=42 \times 2 = 42×2=4
