Kesirler günlük hayatta ve matematikte sürekli karşımıza çıkar: tariflerdeki malzemeler, uzunluk ölçümleri, zaman paylaşımları… 6. sınıfta kesirlerle yapılan temel işlemleri (toplama, çıkarma, çarpma, bölme), kesir türlerini, sadeleştirmeyi, genişletmeyi ve uygulama problemlerini öğreneceksiniz. Aşağıda konu ayrıntılı, adım adım ve bol örnekle anlatılmıştır.
1. Kesir Nedir? Türleri ve Gösterimi
Bir kesir, bir bütünün parçalarını gösterir ve iki kısımdan oluşur: pay (üstte) ve payda (altta). Örnek: 34\dfrac{3}{4}43 — buradaki 3 pay, 4 payda.
- Basit kesir: Pay < Payda (ör. 34\dfrac{3}{4}43).
- Bileşik kesir (improper fraction): Pay ≥ Payda (ör. 74\dfrac{7}{4}47).
- Tam sayılı kesir (mixed number): Tam sayı + basit kesir (ör. 1341\dfrac{3}{4}143).
- Eşdeğer (denk) kesirler: Değeri aynı olan farklı gösterimler (ör. 12=24=50100\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{50}{100}21=42=10050).
2. Kesirleri Sadeleştirme ve Genişletme
Sadeleştirme: Pay ve paydayı ortak bölenle bölerek kesri daha basit hâle getirme.
Örnek: 4256\dfrac{42}{56}5642. Hem 42 hem 56, 14 ile bölünür: 42÷1456÷14=34\dfrac{42\div14}{56\div14}=\dfrac{3}{4}56÷1442÷14=43.
Genişletme: Payı ve paydayı aynı sayıyla çarparak payda eşitleme veya denk kesir oluşturma.
Örnek: 23\dfrac{2}{3}32 kesrini paydası 12 olacak şekilde genişletmek isterseniz 4 ile çarpın: 2⋅43⋅4=812\dfrac{2\cdot4}{3\cdot4}=\dfrac{8}{12}3⋅42⋅4=128.
İyi bir alışkanlık: işlemler sırasında mümkünse erken sadeleştirme (cross-cancellation) yapın, böylece sayılar küçülür ve hata azalır.
3. Kesir Karşılaştırma
- Aynı payda: Payı büyük olan daha büyüktür. (ör. 58>38\dfrac{5}{8}>\dfrac{3}{8}85>83)
- Aynı pay: Payda küçük olan daha büyüktür. (ör. 34>35\dfrac{3}{4}>\dfrac{3}{5}43>53 çünkü bir bütün daha büyük parçalara bölünmüş)
- Farklı pay ve payda: Çapraz çarpma yöntemiyle karşılaştırabilirsiniz.
Örnek: 37\dfrac{3}{7}73 ve 25\dfrac{2}{5}52 karşılaştıralım. Çapraz çarp: 3⋅5=153\cdot5=153⋅5=15, 2⋅7=142\cdot7=142⋅7=14. 15 > 14 olduğuna göre 37>25\dfrac{3}{7}>\dfrac{2}{5}73>52.
4. Kesirlerle Toplama
a) Aynı payda ile toplama
Paylar toplanır, payda aynen yazılır. Sonra gerekirse sadeleştirilir.
Örnek: 27+37=2+37=57\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{2+3}{7}=\dfrac{5}{7}72+73=72+3=75.
b) Farklı payda ile toplama
Önce paydaları eşitle (genellikle EKOK yani en küçük ortak payda ile), sonra payları topla.
Örnek: 12+13\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}21+31. EKOK(2,3)=6.
12=36, 13=26\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{6},\ \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}21=63, 31=62 → 36+26=56\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}63+62=65.
c) Tam sayılı kesirlerle toplama
Önce tam sayılı kesiri bileşik kesre çevir (improper), sonra işlemi yap.
Örnek: 213+1342\dfrac{1}{3}+1\dfrac{3}{4}231+143.
213=73, 134=742\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3},\ 1\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{4}231=37, 143=47. EKOK(3,4)=12: 2812+2112=4912=4112\dfrac{28}{12}+\dfrac{21}{12}=\dfrac{49}{12}=4\dfrac{1}{12}1228+1221=1249=4121.
5. Kesirlerle Çıkarma
Çıkarma işlemi de toplama gibidir: paydalar eşitlenir, sonra paylar çıkarılır. Eğer sonuç negatif bir sayı çıkarsa işaretine dikkat et.
Örnek: 34−512\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{12}43−125. EKOK(4,12)=12. 34=912\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}43=129.
912−512=412=13\dfrac{9}{12}-\dfrac{5}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}129−125=124=31.
Çıkarma ve borç alma (ör. tam sayılı kesir çıkarma): 314−1323\dfrac{1}{4}-1\dfrac{3}{2}341−123 gibi durumlarda, tam sayıdan 1 eksilterek payı artırıp sonra işlemi yapabilirsiniz veya önce bileşik kesire çevirin.
6. Kesirlerle Çarpma
Çarpma işlemi basittir: paylar çarpılır, paydalar çarpılır. Ancak öncelikle kısaltma (cross-cancellation) uygulayarak daha kolay hesap yapılır.
Örnek: 23⋅34\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}32⋅43.
Çarp: 2⋅3=62\cdot3=62⋅3=6 ve 3⋅4=123\cdot4=123⋅4=12 → 612=12\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}126=21.
Ama daha iyi yol: 3’ler birbirini götürür → 21⋅14=24=12\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}12⋅41=42=21.
Tam sayılı kesirlerle çarpma: İlk olarak tam sayılı kesiri bileşik kesre çevir, sonra çarp.
Örnek: 112⋅351\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{5}121⋅53. 112=321\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}121=23. 32⋅35=910\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{10}23⋅53=109.
7. Kesirlerle Bölme
Bölme işleminde ikinci kesirin tersini alın (pay ve paydayı yer değiştir) ve çarpma yapın.
Örnek: 34÷25=34⋅52=158=178\dfrac{3}{4}\div\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{8}=1\dfrac{7}{8}43÷52=43⋅25=815=187.
Tam sayılı kesir bölme: Bileşik kesre çevirip aynı adımı uygula.
8. İşlem Sırası ve Karışık İfadeler
Kesirlerin olduğu ifadelerde de normal işlem sırası geçerlidir: Parantez → Üs (yoksa atla) → Çarpma/Bölme (soldan sağa) → Toplama/Çıkarma (soldan sağa). Parantez içlerinde önce payda eşitleme veya gerekli dönüşümler yapılabilir.
Örnek: 12+13⋅34\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{4}21+31⋅43.
İlk olarak çarpma: 13⋅34=14\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}31⋅43=41. Sonra toplama: 12+14=34\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}21+41=43.
9. Uygulama Problemleri (Çözümlü)
- Tarif: Bir kek tarifi 3/4 fincan şeker istiyor. 2/3 fincan daha eklenirse toplam şeker ne kadar olur?
34+23\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{3}43+32. EKOK(4,3)=12 → 912+812=1712=1512\dfrac{9}{12}+\dfrac{8}{12}=\dfrac{17}{12}=1\dfrac{5}{12}129+128=1217=1125 fincan. - Ölçü: Bir ip 2\dfrac{1}{2} metre. 1\dfrac{3}{4} metre kesiliyor. Kalan kaç metre?
212−134=52−742\dfrac{1}{2}-1\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{2}-\dfrac{7}{4}221−143=25−47. EKOK(2,4)=4 → 104−74=34\dfrac{10}{4}-\dfrac{7}{4}=\dfrac{3}{4}410−47=43 metre. - Bölme: Bir pasta 8 kişi arasında eşit paylaştırılıyor. Herkes 38\dfrac{3}{8}83 pasta yerse toplam kaç pasta gider? (Bu soruyu tersine çevirme)
Toplam ihtiyacı: 8⋅38=38\cdot\dfrac{3}{8}=38⋅83=3 pasta.
10. Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
- Payda eşitlemeyi unutmak: Toplama/çıkarma yaparken paydaların aynı olması zorunludur.
- Erken sadeleştirme yapmamak: Çarpma ve bölmede çarpma öncesi sadeleştirmek hataları azaltır.
- Tam sayılıyı yanlış çevirmek: 213=732\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}231=37 olduğunu unutmayın (2×3+1=7).
- Bölmede tersini almamak: Bölme → çarpma + ikinci kesirin tersini alma.
Pratik ipuçları:
- Çarpma/bölmede cross-cancel kullanın.
- Sonucu kontrol etmek için kesri ondalık olarak yaklaşık hesaplayın (ör. 13≈0,333\dfrac{1}{3}\approx0{,}33331≈0,333).
- Karmaşık ifadelerde önce geçici basitleştirmeler yapın (ortalama payda yerine EKOK).
11. Örnek Alıştırmalar (Cevaplı)
- 56+14=\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{4}=65+41= → EKOK(6,4)=12 → 1012+312=1312=1112\dfrac{10}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{13}{12}=1\dfrac{1}{12}1210+123=1213=1121.
- 78−316=\dfrac{7}{8}-\dfrac{3}{16}=87−163= → 1416−316=1116\dfrac{14}{16}-\dfrac{3}{16}=\dfrac{11}{16}1614−163=1611.
- 25⋅158=\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{15}{8}=52⋅815= → sadeleştir: 15 ve 5 bölünebilir → 21⋅38=68=34 \dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{3}{8}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}12⋅83=86=43.
- 123÷56=1\dfrac{2}{3}\div\dfrac{5}{6}=132÷65= → 53÷56=53⋅65=63=2 \dfrac{5}{3}\div\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{6}{5}=\dfrac{6}{3}=235÷65=35⋅56=36=2.
12. Özet (Kısa Hatırlatma)
- Kesirleri sadeleştir ve gerektiğinde genişlet.
- Toplama/çıkarma için paydaları eşitle.
- Çarpma: pay×pay / payda×payda, bölme: ters çarp.
- Tam sayılı kesirleri işlemler öncesi bileşik kesre çevir.
- İşlem sırasında erken sadeleştirme yap, sonuçları gerekirse tam sayılı biçime çevir
