Tam sayılar, günlük hayatta “eksi dereceler”, “borç/alacak”, “deniz seviyesinin altı/üstü” gibi durumları modellememizi sağlayan sayı türüdür. 6. sınıfta tam sayıların ne olduğunu, sayı doğrusunda nasıl gösterildiğini, nasıl karşılaştırılıp sıralandığını, mutlak değeri, zıt (karşıt) tam sayıyı, toplama–çıkarma işlemlerini ve karışık işlemlerde dikkat edilmesi gerekenleri öğrenirsiniz. Aşağıdaki anlatım, konuyu sıfırdan ve bol örnekle ele alır.
1) Tam Sayılar Nedir?
Tam sayılar kümesi genellikle Z harfiyle gösterilir (Almanca Zahlen = sayılar).
Bu küme; negatif tam sayıları, sıfırı ve pozitif tam sayıları içerir:
- … , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Notasyonlarda sıkça şunları görürsünüz:
- Z⁺: Pozitif tam sayılar {1, 2, 3, …}
- Z⁻: Negatif tam sayılar {−1, −2, −3, …}
- 0 ne pozitif ne negatif bir sayıdır; kendi başına özel bir elemandır.
Uyarı: Bazı kaynaklar Z* veya Z₀⁺ gibi farklı işaretler de kullanabilir. Bu metinde Z⁺ sıfır hariç pozitifleri, Z⁻ ise sıfır hariç negatifleri ifade eder.
2) Sayı Doğrusu ve Yön
Tam sayıları sayı doğrusunda gösterirken:
- Sıfır (0) referans noktasıdır.
- Sağa doğru büyüyen sayılar (1, 2, 3, …) pozitiftir.
- Sola doğru azalan sayılar (−1, −2, −3, …) negatiftir.
Sağdaki sayı her zaman soldakinden büyüktür. Örneğin:
- Sayı doğrusunda −3, −1’in solundadır; bu yüzden −3 < −1.
- 5, −2’nin sağındadır; bu yüzden 5 > −2.
3) Karşılaştırma ve Sıralama
İki tam sayıyı karşılaştırırken sayı doğrusunu düşünmek en güvenli yöntemdir.
- Pozitifler > 0 > Negatifler. Yani herhangi bir pozitif tam sayı, sıfırdan ve tüm negatiflerden büyüktür.
- Negatiflerde, mutlak değeri büyük olan küçüktür. Örneğin |−7| = 7, |−3| = 3 olduğundan −7 < −3.
Örnekler:
- Karşılaştır: −4 ve −9 → |−9| daha büyük, bu yüzden −9 daha soldadır: −9 < −4.
- Sırala (küçükten büyüğe): {−4, 3, 0, −1, 5} → −4 < −1 < 0 < 3 < 5.
Aralarında kaç tam sayı var?
−3 ile 3 arasında (uçlar hariç) −2, −1, 0, 1, 2 olmak üzere 5 tam sayı vardır.
4) Zıt (Karşıt) Tam Sayı
Bir sayının zıt tam sayısı, sayı doğrusunda 0’a göre simetriğidir.
- a’nın zıt tam sayısı −a’dır.
- Örnek: 7’nin zıt tam sayısı −7, −12’nin zıt tam sayısı 12, 0’ın zıt tam sayısı yine 0.
5) Mutlak Değer (|a|)
Mutlak değer, bir sayının 0’a uzaklığıdır; bu uzaklık daima 0 veya pozitif olur.
- |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0
- |a| = |−a| (aynı noktadan 0’a uzaklık değişmez)
Temel özellikler:
- |a| ≥ 0 (hiçbir zaman negatif değildir)
- |a| = 0 ise a = 0
- |−a| = |a|
Örnekler:
- |−8| = 8
- |3 − 7| = |−4| = 4
- |−2 − 3| = |−5| = 5
Eşitsizlikle yorum:
|a| < 6 ise −6 < a < 6;
|a| ≥ 4 ise a ≤ −4 veya a ≥ 4.
6) Toplama – Temel Mantık
Tam sayılarda toplama iki modelle çok iyi anlaşılır:
- Borç–Alacak (Para) modeli
- Pozitif sayılar “alacak”, negatif sayılar “borç” gibi düşünülebilir.
- Aynı işaretli iki sayı toplanırken işaret korunur, mutlak değerler toplanır.
- (−6) + (−4) = −10 (borç + borç = daha çok borç)
- 8 + 5 = 13 (alacak + alacak = daha çok alacak)
- Zıt işaretli iki sayı toplanırken büyük mutlak değerden küçük çıkarılır, büyüğün işareti yazılır.
- (−6) + 9 → 9’un mutlak değeri daha büyük: 9 − 6 = 3, işaret + → 3
- 8 + (−5) → 8 − 5 = 3, işaret + → 3
- (−7) + 4 → 7 − 4 = 3, büyüğün işareti − → −3
- Sayı doğrusu modeli
- Pozitif eklemek: sağa doğru adım.
- Negatif eklemek: sola doğru adım.
Örnekler (adım adım):
- (−4) + (−7) = −11
Aynı işaretli, mutlak değerleri topla: 4 + 7 = 11, işaret −. - (−2) + 9 = 7
Zıt işaretli; 9 − 2 = 7, işaret + (çünkü 9’un mutlak değeri büyük). - 5 + (−12) = −7
12 − 5 = 7, büyüğün işareti −.
7) Çıkarma – “Eksi”yi Toplamaya Çevirmek
Tam sayılarda çıkarma, toplamaya dönüştürülerek yapılır:
a − b = a + (−b)
Yani “çıkarma = zıddını ekleme”.
Örnekler (adım adım):
- 9 − (−3) = 9 + 3 = 12
(Eksi eksi artı yapar, çünkü −(−3) = +3) - (−5) − (−8) = (−5) + 8 = 3
- (−12) − 4 = (−12) + (−4) = −16
- 6 − 9 + (−5) + 8
Önce 6 − 9 = 6 + (−9) = −3,
sonra −3 + (−5) = −8,
son olarak −8 + 8 = 0 → sonuç 0.
8) Parantez ve İşlem Sırası
Karışık işlemlerde işlem sırası kuralı çok önemlidir:
- Parantez içi işlemler
- Mutlak değer, üslü ifadeler (6. sınıfta temel mutlak değer uygulamaları yeterli)
- Çarpma–Bölme (soldan sağa) – not: 6. sınıfta çarpma/bölme tam sayılarda genellikle tanıtımsal düzeyde geçer
- Toplama–Çıkarma (soldan sağa)
Örnek 1:
(−2) − [ 3 − (−4) ]
İç parantez: 3 − (−4) = 3 + 4 = 7
Dış işlem: (−2) − 7 = (−2) + (−7) = −9
Örnek 2:
5 − (−3) + |−7| − [ 2 − (−1) ]
5 − (−3) = 5 + 3 = 8
|−7| = 7
2 − (−1) = 2 + 1 = 3
Son: 8 + 7 − 3 = 12 (çünkü 8 + 7 = 15, 15 − 3 = 12)
9) Günlük Hayattan Problemler
Sıcaklık:
Sabah −2°C, öğleye doğru sıcaklık 5°C arttı. Yeni sıcaklık?
−2 + 5 = 3°C.
Banka hesabı (borç–alacak):
Hesap bakiyesi −120 TL (borç). 80 TL yatırıldı.
−120 + 80 = −40 TL (hala 40 TL borç var).
Yükseklik:
Deniz seviyesinin 15 m üstünde (+15 m) olan bir noktadan 20 m aşağı inildi.
+15 + (−20) = −5 m (deniz seviyesinin 5 m altı).
Adım adım değişim:
Bir asansör sırasıyla +3, −5, +4, −2 kat hareket etti. Başlangıç 0 ise son konum:
0 + 3 = 3
3 + (−5) = −2
−2 + 4 = 2
2 + (−2) = 0 → Zemine geri döner.
10) Sık Yapılan Hatalar ve İpuçları
- “Eksi eksi her zaman artıdır” değil! Bu ifade yalnızca çıkarma işlemini toplama çevirirken (−(−b) = +b) veya çarpma/bölme işaret kuralında (eksi × eksi = artı) geçerlidir. Toplamada “iki eksi yan yana” diye otomatik artı olmaz; (−4) + (−7) = −11’dir.
- Büyüklük kıyaslarken işareti unutmayın. Negatiflerde mutlak değeri büyük olan daha küçüktür: −9 < −2.
- Mutlak değer sonucu asla negatif olmaz. |a| ≥ 0.
- Çıkarma = zıddını ekleme kuralını ezberleyin: a − b = a + (−b).
- Sayı doğrusu çizmek ve adım saymak, toplama–çıkarma hatalarını çok azaltır.
11) Kısa Özet
- Tam sayılar (Z): …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
- Sayı doğrusu: sağa → büyür, sola → küçülür.
- Karşılaştırma: Sağdaki büyüktür; negatiflerde mutlak değeri büyük olan daha küçüktür.
- Zıt tam sayı: a ↔ −a (0’ın zıttı yine 0).
- Mutlak değer: |a|, a’nın 0’a uzaklığıdır, her zaman 0 veya pozitiftir.
- Toplama:
- Aynı işaret: işaret korunur, mutlak değerler toplanır.
- Zıt işaret: büyük mutlak değerden küçük çıkarılır, büyüğün işareti yazılır.
- Çıkarma: a − b = a + (−b).
- İşlem sırası: Parantez → (mutlak değer/üs) → Çarpma–Bölme → Toplama–Çıkarma.
12) Çözümlü Mini Test
1) Aşağıdakileri küçükten büyüğe sırala: −5, 2, −1, 0, −3
Çözüm: Negatifler önce, aralarında en küçük mutlak değerden en büyüğe doğru tam tersi sıralanır: −5 < −3 < −1 < 0 < 2.
2) Aşağıdaki karşılaştırmaları “<, >, =” ile tamamlayın:
a) −7 __ −4 → −7 < −4
b) 3 __ −2 → 3 > −2
c) −1 __ −1 → =
3) Mutlak değeri hesaplayın:
a) |−9| = 9
b) |3 − 8| = |−5| = 5
c) |−2| + |−6| = 2 + 6 = 8
4) Toplamları bulun:
a) (−6) + (−4) → aynı işaret, −(6 + 4) = −10
b) 8 + (−5) → zıt işaret, 8 − 5 = 3
c) (−7) + 9 → zıt işaret, 9 − 7 = 2
5) Çıkarmayı toplamaya çevirip çözün:
a) 9 − (−2) → 9 + 2 = 11
b) (−5) − 6 → (−5) + (−6) = −11
c) (−12) − (−7) → (−12) + 7 = −5
6) Karışık işlem: (−2) − [ 5 − (−3) ] + |−4|
İç parantez: 5 − (−3) = 8
Dış: (−2) − 8 = −10
Mutlak değer: |−4| = 4
Toplam: −10 + 4 = −6
7) Gerçek hayat:
Bir şehirde sabah −3°C, öğleden sonra 7°C yükseldi, akşam da 5°C düştü. Son sıcaklık?
Sabah → öğle: −3 + 7 = 4°C,
Öğle → akşam: 4 + (−5) = −1°C.
Sonuç: −1°C.
8) Eşitsizlik yorumu: |a| < 4 ise a hangi aralıktadır?
−4 < a < 4.
9) “Aralarında kaç tam sayı var?”
−6 ile 2 arasında (uçlar hariç) −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1 → 7 sayı.
10) Boşluk doldur: “a − b = a + (___)”.
Cevap: −b.
13) Pekiştirme İçin İpuçları
- Sayı doğrusu çizmeyi alışkanlık yapın; özellikle zıt işaretli toplamalar ve çıkarma–toplama dönüşümlerinde hata oranı düşer.
- Kısa not kartları hazırlayın: “Toplama kuralları”, “Çıkarma = zıddını ekleme”, “Mutlak değer” gibi başlıklarla 3–4 cümlelik özetler.
- Günlük örnekler bulun: Hava sıcaklığı, merdiven çıkma/inme, asansör hareketi, banka bakiyesi. Matematiği günlük hayata bağlamak, kavramları akılda kalıcı yapar.
