Bu konu, sayıların yapılarını anlamak için çok önemlidir. Çarpanlar ve katlar; bölünebilme, asal-bileşik ayırımı, EBOB (en büyük ortak bölen) ve EKOK (en küçük ortak kat) gibi konuların temelini oluşturur. Aşağıda tanımlar, yöntemler, örnekler, püf noktaları ve bol alıştırma bulacaksın.
1. Temel Tanımlar
- Çarpan (Bölen): Bir sayıyı tam bölen pozitif tam sayıların her birine o sayının çarpanı (veya böleni) denir.
Örnek: 12’nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Çünkü bu sayılar 12’yi tam bölüyor. - Kat: Bir sayının tam sayı ile çarpımından elde edilen sayılara o sayının katı denir.
Örnek: 4’ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, … (0 da kat kabul edilir: 0, 4, 8,…). - Ortak çarpan: İki veya daha fazla sayının her birini bölen çarpanlara ortak çarpan denir.
- Ortak kat: İki veya daha fazla sayının tümünün katı olan sayılara ortak kat denir.
- En büyük ortak bölen (EBOB / GCD): İki sayının ortak çarpanları içinde en büyüğüdür.
- En küçük ortak kat (EKOK / LCM): İki sayının ortak katları içinde en küçüğüdür.
2. Asal ve Bileşik Sayılar
- Asal sayı: 1’den ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan doğal sayıdır. (Örn: 2, 3, 5, 7, 11, 13…)
Not: 2 tek çift asal sayıdır. - Bileşik sayı: 1’den büyük ve asal olmayan sayılardır (en az bir asal çarpana ayrılabilirler). (Örn: 4, 6, 8, 9, 10…)
- 1 sayısı ne asal ne bileşiktir.
3. Bölünebilme Kuralları — Hızlı Kontroller
Bazı basit kurallar pratikte çok işe yarar:
- 2 ile bölünme: Birler basamağı çift ise (0,2,4,6,8).
- 3 ile bölünme: Rakamların toplamı 3’ün katıysa.
- 4 ile bölünme: Son iki basamağı 4’ün katıysa.
- 5 ile bölünme: Birler basamağı 0 veya 5 ise.
- 6 ile bölünme: Hem 2’ye hem 3’e bölünüyorsa.
- 8 ile bölünme: Son üç basamağı 8’in katıysa.
- 9 ile bölünme: Rakamların toplamı 9’un katıysa.
- 10 ile bölünme: Birler basamağı 0 ise.
4. Çarpanlara Ayırma (Asal Çarpanlara Ayırma)
Her doğal sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir (asal çarpanlara ayrılma). Bunu bir bölme ağacı veya ardışık bölmelerle yaparız.
Örnek — 84’ü asal çarpanlara ayırma:
84 ÷ 2 = 42 → 42 ÷ 2 = 21 → 21 ÷ 3 = 7 → 7 ÷ 7 = 1
Yani 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22×3×72^2 \times 3 \times 722×3×7.
Asal çarpanlara ayırma, EBOB ve EKOK hesaplamada çok kullanılır.
5. EBOB (En Büyük Ortak Bölen) Bulma Yöntemleri
a) Ortak çarpanlardan bulma (küçük sayılar için)
Örnek: EBOB(36, 48)
36’nin çarpanları: 1,2,3,4,6,9,12,18,36
48’nin çarpanları: 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
Ortak çarpanlar: 1,2,3,4,6,12 → en büyüğü 12 → EBOB = 12
b) Öklid algoritması (büyük sayılar için hızlı)
EBOB(a,b) = EBOB(b, a mod b) adımı tekrarlanır.
Örnek: EBOB(48,18)
48 = 18×2 + 12 → şimdi EBOB(18,12)
18 = 12×1 + 6 → şimdi EBOB(12,6)
12 = 6×2 + 0 → kalan 0 → EBOB = 6
6. EKOK (En Küçük Ortak Kat) Bulma Yöntemleri
a) Asal çarpan yöntemi
İki sayının her birinin asal çarpanlarını yaz; ortak ve farklı asal çarpanların en yüksek kuvvetlerini al, çarp.
Örnek: EKOK(48,18)
48 = 24×32^4 \times 324×3
18 = 2×322 \times 3^22×32
EKOK = 2max(4,1)×3max(1,2)=24×32=16×9=1442^{\max(4,1)} \times 3^{\max(1,2)} = 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 1442max(4,1)×3max(1,2)=24×32=16×9=144.
b) EBOB ile ilişki (pratik ve sık kullanılır)
EBOB(a,b)×EKOK(a,b)=a×b\text{EBOB}(a,b) \times \text{EKOK}(a,b) = a \times bEBOB(a,b)×EKOK(a,b)=a×b
Dolayısıyla EKOK(a,b)=a×bEBOB(a,b)\text{EKOK}(a,b) = \frac{a \times b}{\text{EBOB}(a,b)}EKOK(a,b)=EBOB(a,b)a×b
Aynı örnek: EBOB(48,18)=6 ise EKOK = (48×18)/6 = 864/6 = 144.
7. Ortak Katlar ve Ortak Çarpanlar
- Ortak katlar: İki sayının ortak katları; örn 12 ve 18 için ortak katlar: 36, 72, 108,… En küçük ortak kat EKOK=36.
- Ortak çarpanlar: İki sayının ortak çarpanları; örn 20 ve 30 için ortak çarpanlar: 1, 2, 5, 10. EBOB=10.
8. Uygulama ve Örnek Problemler (Çözümlü)
- Soru: 60 ve 90’ın EBOB’u nedir?
- 60 = 22×3×52^2 \times 3 \times 522×3×5
- 90 = 2×32×52 \times 3^2 \times 52×32×5
- Ortak asal çarpanların en küçük kuvvetleri: 21×31×51=302^1 \times 3^1 \times 5^1 = 3021×31×51=30 → EBOB = 30
- Soru: 14 ve 20’nin EKOK’u nedir?
- 14 = 2×72 \times 72×7
- 20 = 22×52^2 \times 522×5
- EKOK = 22×5×7=4×35=1402^2 \times 5 \times 7 = 4 \times 35 = 14022×5×7=4×35=140 → EKOK = 140
- Soru (Öklid): EBOB(119, 34) nedir?
- 119 = 34×3 + 17 → EBOB(34,17)
- 34 = 17×2 + 0 → EBOB = 17
9. Sık Yapılan Hatalar & Püf Noktaları
- EBOB ve EKOK’u karıştırma: EBOB “ortak bölenin en büyüğü”, EKOK “ortak katın en küçüğü”.
- Asal çarpanlara ayırırken kuvvetleri doğru almak önemli (ör. 48 için 242^424).
- Öklid algoritmasıyla işlem yaparken kalanı doğru hesapla; bu yöntem çok hızlıdır.
- EKOK hesaplamak için önce EBOB bulunup formülle kullanılabilir — pratik ve hata riski az.
10. Alıştırmalar (Çözümler son kısımda)
- 18 ve 24’ün EBOB’unu bulun.
- 12 ve 15’in EKOK’unu bulun.
- 72’yi asal çarpanlara ayırın.
- 45 ve 60 için hem EBOB hem EKOK’u bulun.
- 7 ve 11 için ortak katlar listesi oluşturun (ilk 5).
Cevaplar:
- EBOB(18,24)=6.
- EKOK(12,15)=60.
- 72 = 23×322^3 \times 3^223×32.
- 45=32×53^2\times532×5, 60=22×3×52^2\times3\times522×3×5 → EBOB = 3×5=153\times5=153×5=15, EKOK = 22×32×5=1802^2\times3^2\times5=18022×32×5=180.
- 7 ve 11’in ortak katları: 77, 154, 231, 308, 385 (çünkü EKOK(7,11)=77).
Özet
- Çarpanlar: bir sayıyı tam bölen sayılar. Katlar: bir sayının çarpımları.
- Asal sayıların tanımı ve asal çarpanlara ayırma çok önemlidir.
- EBOB için Öklid algoritması, EKOK için asal çarpan yöntemi veya EBOB–EKOK ilişkisi pratik çözümler sunar.
- Bölünebilme kurallarını bilmek hesapları hızlandırır.
