1. Doğru, Doğru Parçası ve Işın
Matematikte geometrinin en temel kavramlarından biri doğrudur. Doğru, iki ucu da sonsuza giden, düz bir çizgidir. Bir doğruyu çizerken iki harfle isimlendiririz: AB doğrusu gibi.
- Doğru parçası: Başlangıç ve bitiş noktası belli olan doğruya denir. Örneğin [AB] doğru parçası.
- Işın: Bir noktadan başlayıp tek yönde sonsuza giden doğru parçasıdır. Mesela [AB) ışını.
Bu kavramları iyi anlamak, açıları ve çokgenleri öğrenmede temel oluşturur.
2. Açılar
Bir köşeden çıkan iki ışının oluşturduğu şekle açı denir. Açılar, ölçüleri ile birbirinden ayrılır.
Açının Türleri
- Dar Açı: Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açıdır.
- Dik Açı: Ölçüsü tam 90° olan açıdır.
- Geniş Açı: Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açıdır.
- Doğru Açı: Ölçüsü 180° olan açıdır.
- Tam Açı: Ölçüsü 360° olan açıdır.
3. Açılar Arasındaki İlişkiler
Açılar sadece ölçüleriyle değil, birbirleriyle olan ilişkileriyle de incelenir.
- Komşu Açılar: Ortak bir kenar ve köşeleri olan açılardır.
- Tümler Açılar: Ölçüleri toplamı 90° olan açılardır. (Örn: 30° ve 60°)
- Bütünler Açılar: Ölçüleri toplamı 180° olan açılardır. (Örn: 110° ve 70°)
- Ters Açılar: Birbirine komşu olmayan, fakat aynı köşeden çıkan ve doğrusal olarak karşı karşıya bulunan açılardır. Ölçüleri eşittir.
- Doğrusal Açılar: Yan yana iki açının ölçüleri toplamı 180° ise doğrusal açı oluşturur.
Bu kuralları bilmek, çokgenlerin iç ve dış açılarını hesaplarken çok işimize yarar.
4. Paralel ve Kesen Doğrular
İki doğruyu ele alalım:
- Eğer iki doğru hiçbir zaman kesişmezse, yani aralarındaki mesafe hep aynı kalıyorsa, bu doğrular paralel doğrulardır.
- Eğer bir doğru, paralel iki doğruyu keserse, buna kesen doğru denir.
Kesen doğru, açı çeşitlerinin anlaşılması için önemlidir. Çünkü burada:
- İç ters açılar,
- Dış ters açılar,
- İç açılar,
- Aynı yönde açılar oluşur.
Örneğin: İki paralel doğruyu kesen bir doğru varsa, iç ters açılar birbirine eşittir. Aynı şekilde dış ters açılar eşittir.
5. Çokgenler
Birden fazla doğru parçasının birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir. Çokgenlerin en önemli özelliklerinden biri, kenar sayıları ve buna bağlı olarak iç açılar toplamıdır.
Çokgenin Temel Elemanları
- Kenar: Çokgeni oluşturan doğru parçalarıdır.
- Köşe: İki kenarın birleştiği noktadır.
- Köşegen: Çokgenin iki köşesini birleştiren fakat kenar olmayan doğru parçasıdır.
- İç açı: Çokgenin iç kısmında kalan açı.
- Dış açı: Çokgenin bir kenarının uzantısı ile komşu kenar arasındaki açı.
6. İç Açıların Toplamı
Bir n kenarlı çokgenin iç açılar toplamı formülle bulunur: (n−2)×180°(n – 2) \times 180°(n−2)×180°
Örnek:
- Üçgen (n=3) → (3-2)×180 = 180°
- Dörtgen (n=4) → (4-2)×180 = 360°
- Beşgen (n=5) → (5-2)×180 = 540°
- Altıgen (n=6) → (6-2)×180 = 720°
7. Dış Açıların Toplamı
Herhangi bir çokgenin tüm dış açıları toplamı daima 360°’dir.
Bu, üçgen de olsa, beşgen de olsa, yüz kenarlı çokgen de olsa değişmez.
Örnek: Bir düzgün altıgende her bir dış açı: 360°/6=60°360° / 6 = 60°360°/6=60°
8. Düzgün Çokgenler
Tüm kenar uzunlukları ve açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.
- Düzgün üçgen: Eşkenar üçgen
- Düzgün dörtgen: Kare
- Düzgün beşgen, düzgün altıgen vb.
Düzgün çokgenlerde:
- Her iç açı:
(n−2)×180n\frac{(n-2)\times180}{n}n(n−2)×180
- Her dış açı:
360n\frac{360}{n}n360
9. Üçgenler ve Özellikleri
Üçgen, en basit çokgendir.
- Çeşitlerine göre:
- Eşkenar (3 kenarı eşit, 3 açısı 60°)
- İkizkenar (2 kenarı eşit)
- Çeşitkenar (Tüm kenarları farklı)
- Açılarına göre:
- Dar açılı üçgen
- Dik üçgen
- Geniş açılı üçgen
Özellik: Bir üçgende iç açılar toplamı her zaman 180°’dir.
10. Dörtgenler
Dört kenarlı çokgenlere dörtgen denir.
- Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel.
- Dikdörtgen: Karşılıklı kenarlar eşit, tüm açıları 90°.
- Kare: Tüm kenarlar eşit, tüm açıları 90°.
- Eşkenar dörtgen: Tüm kenarlar eşit, açıları 90° olmak zorunda değil.
- Yamuk: Sadece bir çift kenarı paralel.
Dörtgenlerin iç açılar toplamı 360°’dir.
11. Çokgenlerde Köşegen Sayısı
Bir n kenarlı çokgenin köşegen sayısı şu formülle bulunur: n×(n−3)2\frac{n \times (n-3)}{2}2n×(n−3)
Örnek:
- Beşgen → 5×(5-3)/2 = 5
- Altıgen → 6×(6-3)/2 = 9
12. Günlük Hayatta Kullanımı
Geometri sadece matematik kağıtlarında değil, günlük yaşamda da karşımıza çıkar:
- Binaların yapımında dik açılar kullanılır.
- Trafik levhalarında çokgen şekiller vardır (örneğin dur tabelası sekizgendir).
- Futbol topunun yapısında beşgen ve altıgenler vardır.
- Köprülerin demir iskeletleri üçgenlerden oluşur.
Bu örnekler, doğrular, açılar ve çokgenlerin hayatın her alanında önemli olduğunu gösterir.
13. Püf Noktaları
- Bir çokgende dış açıların toplamı daima 360°’dir.
- Bir üçgende en uzun kenar, en büyük açının karşısındadır.
- Bir düzgün çokgende, her iç açı ve dış açı eşittir.
- Paralel doğrularda kesenle oluşan iç ters açılar eşittir.
Sonuç
sınıf matematikte “Doğrular ve Açılar, Çokgenler” konusu geometri bilgisinin temelini oluşturur. Açılar arasındaki ilişkiler, çokgenlerin iç ve dış açı özellikleri, düzgün çokgenlerin hesaplamaları gibi bilgiler hem sonraki sınıflarda hem de günlük hayatta işimize yarar. Bu yüzden konuyu sadece formüllerle değil, mantığını anlayarak öğrenmek çok önemlidir.
