Cebirsel ifadeler, değişkenler ve sayıların birleşiminden oluşan, matematiksel ilişkileri kısa ve genelleyici şekilde gösteren ifadelerdir. 6. sınıfta cebirsel ifadelerle tanışmak, matematiksel düşünceyi “genel” düzeye taşır: tek tek sayılar yerine kural ve ilişkilere odaklanırız. Aşağıda cebirsel ifadelerin ne olduğu, temel terimler, nasıl sadeleştirildiği, değerlendirildiği, toplama/çıkarma/çarpma işlemlerinin nasıl yapıldığı, uygulama problemleri ve önemli ipuçları adım adım anlatılmıştır.
Ön bilgi: Cebirde harfler (genellikle x,y,a,bx, y, a, bx,y,a,b) değişken olarak kullanılır — farklı değerleri temsil eder. Örneğin 2x2x2x ifadesi “xxx ile çarpılmış 2” demektir; xxx yerine farklı sayılar koyup değeri bulabilirsiniz.
1) Temel Tanımlar — Terim, Katsayı, Değişken, Sabit
- Cebirsel ifade: Sayılar, değişkenler ve işlemler (+, −, ×, ÷, üs vb.) içeren ifade. Örnek: 3x+53x + 53x+5, 2a−4b+72a – 4b + 72a−4b+7.
- Terim: Bir cebirsel ifadının çarpım halinde duran parçası. Örnek: 3x,−4b,73x, -4b, 73x,−4b,7 her biri bir terimdir.
- Katsayı: Terimde değişkenden önce bulunan sayı. Örneğin 3x3x3x’de katsayı 3’tür; −4b-4b−4b’de katsayı −4’tür.
- Değişken: Değeri bilinmeyen, genellikle harfle gösterilen ifade parçası (ör. x,yx, yx,y).
- Sabit (sayı terim): İçinde değişken olmayan terim. Örnek: 5,−2,75, -2, 75,−2,7.
- Monom / Polinom: Tek terimliyse monom (ör. 4x4x4x), birden çok terimliyse polinom (ör. x2+3x+2x^2+3x+2×2+3x+2). 6. sınıfta öncelik monom/polynoma giriş seviyesi.
2) Cebirsel İfadelerin Yazımı ve Okunuşu
- 3x+53x+53x+5 → “üç x artı beş.”
- −2a+4b−7-2a + 4b – 7−2a+4b−7 → “eksi iki a artı dört b eksi yedi.”
- Katsayı 1 ise genelde yazılmaz: 1x1x1x yerine xxx, −1y-1y−1y yerine −y-y−y.
3) Benzer (Eş) Terimler ve Sadeleştirme
- Benzer terimler: Aynı değişkenlere ve aynı üslere sahip terimlerdir. Örneğin 3x3x3x ile 5x5x5x benzerdir; 2x22x^22×2 ile x2x^2×2 benzerdir; 4x4x4x ile 4y4y4y benzer değildir.
- Sadeleştirme (toplama/çıkarma): Benzer terimler toplanıp çıkarılarak ifadenin sadeleşmesi sağlanır.
Örnek 1: 3x+5x=(3+5)x=8x3x + 5x = (3+5)x = 8x3x+5x=(3+5)x=8x.
Örnek 2: 7a−4a+2=(7−4)a+2=3a+27a – 4a + 2 = (7-4)a + 2 = 3a + 27a−4a+2=(7−4)a+2=3a+2.
Örnek 3: 2x+3y+5x−y=(2x+5x)+(3y−y)=7x+2y2x + 3y + 5x – y = (2x+5x) + (3y – y) = 7x + 2y2x+3y+5x−y=(2x+5x)+(3y−y)=7x+2y.
İpucu: Benzer terimleri bulup katsayılarını topla, değişkeni başına yaz.
4) İfade Değerini Bulma (Yerine Koyma — Substitution)
Bir ifadeye değişkenin değerini verip sonucu hesaplamak sık yapılan etkinliktir.
Örnek: 3x+53x + 53x+5 ifadesi için x=2x = 2x=2 ise:
Adım 1: xxx yerine 2 koy → 3⋅2+53\cdot2 + 53⋅2+5.
Adım 2: Çarp → 6+56 + 56+5.
Adım 3: Topla → 11.
Örnek: 2a−3b+42a – 3b + 42a−3b+4 için a=3,b=1a=3, b=1a=3,b=1:
2⋅3−3⋅1+4=6−3+4=72\cdot3 – 3\cdot1 + 4 = 6 – 3 + 4 = 72⋅3−3⋅1+4=6−3+4=7.
Dikkat: Tüm xxxleri değiştirdiğinizden emin olun; parantez içindeki ifadeye birebir değişkeni koyarken parantezi bozmamaya dikkat edin.
5) Toplama ve Çıkarma (Cebirsel İfadelerle)
- Önce benzer terimleri grupla.
- Benzer terimleri topla/çıkar.
Örnek: (3x+2)+(5x−7)(3x + 2) + (5x – 7)(3x+2)+(5x−7)
Parantezleri açıp benzerleri birleştir: 3x+2+5x−7=(3x+5x)+(2−7)=8x−53x + 2 + 5x – 7 = (3x+5x) + (2-7) = 8x – 53x+2+5x−7=(3x+5x)+(2−7)=8x−5.
Örnek: (7a−3b)−(2a+b)(7a – 3b) – (2a + b)(7a−3b)−(2a+b)
Parantezi çıkarırken ikinci parantezin önündeki eksi tüm terimlere uygulanır: 7a−3b−2a−b=(7a−2a)+(−3b−b)=5a−4b7a – 3b – 2a – b = (7a-2a) + (-3b – b) = 5a – 4b7a−3b−2a−b=(7a−2a)+(−3b−b)=5a−4b.
Kural: Eksi işareti parantezi önde ise parantez içindeki tüm işaretleri tersine çevirir.
6) Çarpma — Dağıtma (Distributive Property)
Çarpma işlemi polinomlarla yapılırken dağıtma kullanılır: a(b+c)=ab+aca(b+c) = ab + aca(b+c)=ab+ac.
Örnek: 3(x+4)=3x+123(x + 4) = 3x + 123(x+4)=3x+12.
Örnek: −2(3x−5)=−6x+10-2(3x – 5) = -6x + 10−2(3x−5)=−6x+10.
Çok terimli çarpma örneği: (x+2)(x+3)(x+2)(x+3)(x+2)(x+3) — 6.sınıfa uygun giriş:
x(x+3)+2(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6x(x+3) + 2(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6x(x+3)+2(x+3)=x2+3x+2x+6=x2+5x+6.
İpucu: Her terimi diğer parantezin her terimi ile çarpın (FOIL yöntemi: First, Outer, Inner, Last — sadece iki çarpan varsa).
7) Ortak Çarpan Parantezine Alma (Faktör Alma)
Bir ifadedeki ortak sayı veya değişken çarpanı paranteze alınabilir.
Örnek: 6x+96x + 96x+9. Ortak çarpan 3 → 3(2x+3)3(2x + 3)3(2x+3). Çünkü 3⋅(2x+3)=6x+93\cdot(2x+3)=6x+93⋅(2x+3)=6x+9.
Örnek: 4ab+8a4ab + 8a4ab+8a → ortak çarpan 4a4a4a → 4a(b+2)4a(b + 2)4a(b+2).
Neden önemli? Hem işlemleri kolaylaştırır hem de çarpma/çözümleme için gereklidir (ileri matematikte kök bulma vb.).
8) Kelimelerden Cebirsel İfade Kurma (Modelleme)
Günlük problemlerde durumu cebirsel ifadelere dönüştürme becerisi önemlidir.
Örnek: “Bir sayının 3 fazlası” → x+3x + 3x+3.
“Bir sayının 4 katı” → 4x4x4x.
“x sayısının 2 eksik üç katı” → 3(x−2)3(x-2)3(x−2).
Örnek problem: “Bir sayının 5 eksiğinin 3 katı 12 ise sayıyı bulun.”
İfade: 3(x−5)=123(x-5) = 123(x−5)=12. (Bu eşitlik çözmek bir denklem konusudur; 6. sınıfta basit denklem çözümüne de yer verilebilir.)
Çözüm: 3x−15=123x – 15 = 123x−15=12 → 3x=273x = 273x=27 → x=9x = 9x=9.
9) Uygulamalı Örnekler ve Adım Adım Çözümler
- İfadeyi sadeleştir: 4x+3−2x+74x + 3 – 2x + 74x+3−2x+7
(4x−2x)+(3+7)=2x+10(4x-2x) + (3+7) = 2x + 10(4x−2x)+(3+7)=2x+10. - Parantezi dağıt: 5(2x−3)+4×5(2x – 3) + 4×5(2x−3)+4x
=10x−15+4x=14x−15= 10x – 15 + 4x = 14x – 15=10x−15+4x=14x−15. - Ortak çarpanı al: 8x+12=8x + 12 =8x+12= ortak 4 → 4(2x+3)4(2x + 3)4(2x+3).
- Değer bulma: 2x+32x^{} + 32x+3 ifadesinde x=4x=4x=4 ise değer: 2⋅4+3=8+3=112\cdot4 + 3 = 8 + 3 = 112⋅4+3=8+3=11.
(Not: 6. sınıfta üs kavramı çok basit düzeyde verilebilir; x2x^2×2 gibi terimler görüyorsanız kare şeklinde okutulur.)
10) Alıştırmalar (Çözüm Önerileriyle)
- 3x+5x−2=3x + 5x – 2 =3x+5x−2=
Çözüm: 8x−28x – 28x−2. - (2x+3)+(4x−7)=(2x + 3) + (4x – 7) =(2x+3)+(4x−7)=
Çözüm: 6x−46x – 46x−4. - 5(x−2)−3x=5(x – 2) – 3x =5(x−2)−3x=
Dağıt: 5x−10−3x=2x−105x – 10 – 3x = 2x – 105x−10−3x=2x−10. - 6a+9a−3(2a+1)6a + 9a – 3(2a + 1)6a+9a−3(2a+1)
=15a−(6a+3)=15a−6a−3=9a−3= 15a – (6a + 3) = 15a – 6a – 3 = 9a – 3=15a−(6a+3)=15a−6a−3=9a−3. - 4x+84x + 84x+8 ifadesinin ortak çarpanını alınız.
Çözüm: 4(x+2)4(x + 2)4(x+2).
11) Sık Yapılan Hatalar & Pratik İpuçları
- Farklı değişkenleri toplayamazsınız: 3x+2y3x + 2y3x+2y sadeleşmez; farklı değişkenler farklı terimlerdir.
- Eksi parantezi unutma: (a−b)−(c−d)=a−b−c+d(a – b) – (c – d) = a – b – c + d(a−b)−(c−d)=a−b−c+d. (İşaretler tersine döner.)
- Katsayıları düzgün topla: 3x+5x=8x3x + 5x = 8x3x+5x=8x, değişkenin ortak olduğuna dikkat.
- Dağıtırken her terimi çarp: 2(x+3+y)2(x + 3 + y)2(x+3+y) → 2x+6+2y2x + 6 + 2y2x+6+2y.
- Yerine koyarken (değer bulma) paranteze dikkat et: 3(x+2)3(x+2)3(x+2) için x=1x=1x=1 → 3(1+2)=3⋅3=93(1+2)=3\cdot3=93(1+2)=3⋅3=9, yanlış yapılan örnek: önce 3x+2 şeklinde yanlış değiştirip 3·1+2=5 yapmak.
Çalışma taktiği: Her yeni ifadeyi önce terimlerine ayır, benzer terimleri grupla, adım adım işle.
12) Özet
- Cebirsel ifadeler: sayılar + değişken + işlemler.
- Terimler, katsayı, sabit gibi temel terimleri öğren.
- Benzer terimleri topla/çıkararak sadeleştir.
- Dağıtma (parantez dağıtma) ve ortak çarpanı alma (faktör alma) temel işlemler.
- Kelimelerden cebirsel ifadeler kurmayı pratikle öğren; bu model kurma becerisi problem çözmede anahtar.
